С чего началось изучение хаоса?

С Исаака Ньютона, трех его законов классической механики и закона всемирного тяготения. С помощью формул классической механики Ньютона, если мы изначально знаем положение в пространстве и скорость двух гравитационно взаимодействующих тел (например, Солнца и нашей планеты), можно точно предсказать их поведение и движение. Но как только добавляется третье тело, динамическая система становится сложнее и просчитать ее эволюцию аналитически становится принципиально невозможно. Незначительные изменения в относительном начальном положении космических тел в пространстве и их относительных скоростей приводит к существенно разной динамике такой системы. В одном случае тела разлетятся, в другом — начнут вращаться по правильным периодическим орбитам, а в третьем — столкнутся друг с другом. Расходимость траекторий — верный признак динамического хаоса. Эта задача трех тел в общем виде была сформулирована еще в 1687 году, но справиться с ней не удалось до сих пор ― решения есть только для некоторых частных случаев.

Были и другие попытки «прощупать» границы детерминизма ― конечно, далеко не только с помощью математики и физики. Например, в 1814 году математик Пьер-Симон Лаплас предложил концепцию демона Лапласа — существа, которое  предельно точно знает положение и скорость любой частицы во Вселенной и поэтому может узнать ее будущее и прошлое. Но воплощение этой идеи оказалось нереальным — для создания и хранения предсказаний понадобились бы огромные для тогдашнего и сегодняшнего времени вычислительные мощности.

Более серьезно изучать хаос начали во второй половине XX века ― и в этом помог технологический прогресс: появились компьютеры, с помощью которых стало возможно проводить более сложные расчеты и делать это гораздо быстрее. Этим, например, воспользовался метеоролог Эдвард Лоренц. Он попытался описать погодные явления за счет набора из трех уравнений, с помощью которых смоделировал поведение атмосферных явлений на компьютере. Через некоторое время ученый повторил вычисления и для быстроты ввел в программу менее точные показатели, округлив их до трех знаков после запятой. Лоренц подумал, что небольшие изменения не сильно отразятся на итоге, однако новый расчет сильно отличался от предыдущего.

Проанализировав оба результата, ученый пришел к выводу, что исследуемая система вроде погоды крайне чувствительна к начальным условиям, которые влияют на будущее. И из-за этого невозможно предсказать развитие событий. Никогда не получится предельно точно измерить все начальные условия, а значит, такие системы оказываются принципиально непредсказуемыми в длительной перспективе. Лоренц даже поставил риторический вопрос: «Может ли взмах крыла бабочки в Бразилии вызвать торнадо в Техасе?». Это открытие он назвал «эффектом бабочки».

Зачем ученые изучают хаос?

Теория хаоса помогает ответить на фундаментальные вопросы, которые интересуют человечество: насколько мир предсказуем и какие предстоящие события мы можем узнать заранее, а какие — нет. Эти знания помогают, например, улучшать методы прогнозирования погоды (хотя бы на короткий срок), оценивать риски развития сердечных заболеваний или моделировать изменения в популяции животных и растений.

Чтобы проводить такие исследования, важно понимать, по каким принципам упорядоченная система превращается в хаотическую и меняет свое прогнозируемое поведение на случайное и непредсказуемое. Такой набор принципов называется сценарием перехода к хаосу. Сейчас ученые выделяют три основные сценария развития хаотической системы. Например, один из них ― сценарий Фейгенбаума, или каскад бифуркаций. Он показывает, как система переходит к хаосу через набор последовательного скачкообразного усложнения.

Каскад бифуркаций можно объяснить на бытовом примере. Представьте обычную девушку Аню, которая живет в Москве. В школьные годы она каждое лето проводила каникулы у бабушки в Тверской области. В университете у Ани появился собственный небольшой доход, она начала копить на отпуск и проводить лето в разных местах ― не только у бабушки в деревне, но и ездить в Петербург или Абхазию. Эта развилка возможностей и называется бифуркацией — перестройкой системы из-за изменения ее поведения. Теперь Аню можно найти летом не только в деревне у бабушки, но и в нескольких других локациях.

Следующая бифуркация произойдет, например, когда наша героиня найдет хорошую работу, в два раза повысит доход и сможет каждый год ездить еще в четыре другие страны. По мере увеличения дохода Ани повышается количество доступных ей локаций, это можно описать как каскад бифуркаций. Получается, что спрогнозировать конкретное местоположение Ани во время отпуска становится невозможным.

С первого взгляда поездки Ани кажутся хаотичными, но в них есть свои правила и закономерности. Ученые даже смогли вычислить закономерность между бифуркациями. Например, в 1975 году математик Митчелл Фейгенбаум вывел несколько постоянных, названных впоследствии его именем. Грубо говоря, эти показатели помогают количественно оценить и предсказать, как и когда упорядоченная система становится более хаотичной. Постоянные универсальны и позволяют изучать многие хаотические системы.

Как конкретно хаос может повлиять на жизнь обычных людей?

Помимо погоды, на жизнь человека влияют и другие хаотические системы. Их очень много ― к ним относится даже поведение нашего собственного сердца. В нормальных условиях, когда человек здоров, цикл работы его сердца понятен и строго определен. Но при различных заболеваниях, например ― при мерцательной аритмии, сердце начинает сокращаться хаотично, ритм становится нерегулярным. Это напоминает поведение хаотических систем.

Чтобы предотвращать такие заболевания, их нужно вовремя диагностировать. Ученые ищут разные способы и, например, уже предложили использовать для этого нейросети, которые базируются на принципах теории хаоса. Программы на основе таких нейросетей, анализируя данные о пациенте и работе его сердца, могут определить, есть ли заболевание или нет.

Также с помощью теории хаоса получилось описать поведение гренландских китов. Обычно поведение морских млекопитающих отслеживают с помощью трекеров, но таким способом сложно выделить отдельные поведенческие черты среди большого массива данных. Чтобы решить эту проблему, ученые представили каждого кита, который колеблется между всплытием и погружением в воду, в виде хаотического осциллятора. Анализ данных показал, что поведение китов может синхронизироваться на расстоянии в несколько сотен километров точно так же, как и колебания осцилляторов. Это возможно благодаря частичной синхронизации коммуникации между собой и воздействию окружающей среды.

А какие исследования, связанные с хаосом, проводят ученые ИТМО?

Сотрудники международного научно-образовательного центра физики наноструктур ИТМО также используют принципы теории хаоса, чтобы решать прикладные научные задачи. Например, определять размер, массу, заряд, плотность и другие параметры микро- и наночастиц по особенностям перехода к хаосу их динамики движения.

Наноразмерные материалы используют в биовизуализации опухолей, определении примесей в газах и жидкостях и других областях. И для каждого применения нужны определенные частицы. Чтобы убедиться, что получилось создать нужный наноматериал, ученые исследуют оптические и физические характеристики частиц с помощью микроскопов и спектрофотометров. Однако такими способами удобно изучать именно группы, а не одиночные частицы.

Для поиска и анализа той самой одиночной частицы среди остальных подобных ученые ИТМО используют электродинамическую ловушку. В этом устройстве на исследуемые наночастицы воздействует быстро осциллирующее электрическое поле. При малом напряжении частицы передвигаются по одинаковой траектории, но как только напряжение увеличивается, меняется и характер движения — динамика частиц становится хаотичной, а их траектории расходятся. Так по характеру усложнения траекторий можно рассказать про сами частицы и отдельно их изучить.

В центре электродинамической ловушки левитирует наночастица. При малом напряжении частица передвигается по одинаковой траектории, но как только напряжение увеличивается, меняется и характер движения — динамика частицы становится хаотичной. Видео предоставлено Дмитрием Щербининым